Phân tích nguyên lý Binius STARKs và suy nghĩ về tối ưu hóa
1. Giới thiệu
Một lý do chính khiến STARKs kém hiệu quả là: hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều nhỏ, nhưng để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, việc sử dụng mã Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu sẽ tạo ra nhiều giá trị dư thừa bổ sung chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền đã trở thành chiến lược then chốt.
Độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ đầu tiên là 252bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ hai là 64bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ ba là 32bit, nhưng độ rộng mã hóa 32bit vẫn còn nhiều không gian lãng phí. So với đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên các bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ thứ tư.
So với Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 và các nghiên cứu gần đây về trường hữu hạn, nghiên cứu về trường nhị phân có thể được truy nguyên từ những năm 1980. Hiện nay, trường nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã học, ví dụ điển hình bao gồm:
Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28
Mã xác thực tin nhắn Galois ( GMAC ), dựa trên miền F2128
QR mã, sử dụng mã hóa Reed-Solomon dựa trên F28
Giao thức FRI gốc và zk-STARK, cũng như hàm băm Grøstl vào vòng chung kết SHA-3, hàm băm này dựa trên miền F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho việc đệ quy.
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, thao tác mở rộng miền trở nên ngày càng quan trọng để đảm bảo an toàn. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo an toàn và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong tính toán của Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền gốc, do đó đạt được hiệu quả cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo an toàn cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã.
Binius đã đề xuất một giải pháp đổi mới, xử lý hai vấn đề này một cách riêng biệt và đạt được điều đó bằng cách biểu diễn cùng một dữ liệu theo hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa biến ( cụ thể là đa thức đa tuyến tính ) thay thế cho đa thức đơn biến, thông qua giá trị của nó trên "siêu khối" ( hypercubes ) để biểu diễn toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, do chiều dài mỗi chiều của siêu khối đều là 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon tiêu chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi siêu khối là hình vuông ( square ), dựa trên hình vuông đó để thực hiện mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này đảm bảo an toàn trong khi nâng cao đáng kể hiệu quả mã hóa và hiệu suất tính toán.
2. Phân tích nguyên lý
Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:
Chứng minh Oracle tương tác đa thức lý thuyết thông tin (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP như là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi các mối quan hệ tính toán đầu vào thành các đẳng thức đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh gửi từng bước đa thức thông qua sự tương tác với người xác minh, giúp người xác minh xác minh tính đúng đắn của phép tính chỉ bằng cách truy vấn một lượng nhỏ kết quả đánh giá đa thức. Các giao thức PIOP hiện tại bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi loại đều có cách xử lý các biểu thức đa thức khác nhau, do đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.
Phương án cam kết đa thức ( Polynomial Commitment Scheme, PCS ): Phương án cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh xem các phương trình đa thức do PIOP tạo ra có đúng không. PCS là một công cụ mật mã, qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn đi các thông tin khác của đa thức. Các phương án cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI ( Fast Reed-Solomon IOPP ) và Brakedown, v.v. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và bối cảnh áp dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn các PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elip phù hợp, có thể xây dựng các hệ thống chứng minh với các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
Halo2: Kết hợp PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế chú trọng vào khả năng mở rộng và loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.
Plonky2: Sử dụng PLONK PIOP kết hợp với FRI PCS và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được sự đệ quy hiệu quả. Khi thiết kế những hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải tương thích với miền hữu hạn hoặc đường cong elip được sử dụng, để đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và an toàn của hệ thống. Sự lựa chọn của những tổ hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh và hiệu quả xác minh của SNARK, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, và liệu nó có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh đệ quy hoặc chứng minh tổng hợp hay không.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ chính để đạt được hiệu quả và an toàn. Đầu tiên, dựa trên miền nhị phân dạng tháp (towers of binary fields), các thành phần toán học đã tạo thành nền tảng cho tính toán của nó, cho phép thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius đã điều chỉnh các kiểm tra tích và hoán vị của HyperPlonk trong giao thức chứng minh Oracle tương tác (PIOP), đảm bảo tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng minh dịch chuyển bậc đa thức mới, tối ưu hóa hiệu suất xác minh các mối quan hệ bậc đa thức trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius sử dụng một phiên bản cải tiến của chứng minh tìm kiếm Lasso, cung cấp tính linh hoạt và khả năng bảo mật mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng kế hoạch cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.
2.1 Tập hợp hữu hạn: Phép toán dựa trên tháp của các trường nhị phân
Trường nhị phân dạng tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán có thể xác minh nhanh chóng, chủ yếu do hai yếu tố: tính toán hiệu quả và tính toán hợp lý. Trường nhị phân về cơ bản hỗ trợ các phép toán số học hiệu quả cao, làm cho nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc trường nhị phân hỗ trợ quy trình số học đơn giản hóa, tức là các phép toán thực hiện trên trường nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số ngắn gọn và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cùng với khả năng tận dụng triệt để tính chất phân cấp của cấu trúc tháp, làm cho trường nhị phân đặc biệt phù hợp cho các hệ thống chứng minh có thể mở rộng như Binius.
Trong đó "canonical" chỉ cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong miền nhị phân. Ví dụ, trong miền nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp tới một phần tử miền nhị phân k bit. Điều này khác với miền số nguyên tố, miền số nguyên tố không thể cung cấp cách biểu diễn chuẩn như vậy trong một số bit nhất định. Mặc dù miền số nguyên tố 32 bit có thể chứa trong 32 bit, nhưng không phải chuỗi 32 bit nào cũng có thể tương ứng duy nhất với một phần tử miền, trong khi miền nhị phân lại có sự tiện lợi của ánh xạ một-một này. Trong miền số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm phổ biến bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery, và các phương pháp giảm đặc biệt cho các miền hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong miền nhị phân F2k, các phương pháp giảm thường dùng bao gồm giảm đặc biệt ( như sử dụng trong AES ), giảm Montgomery ( như sử dụng trong POLYVAL ) và giảm đệ quy ( như Tower ). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của ECC-Hardware Implementations Miền Số Nguyên Tố So Với Miền Nhị Phân" chỉ ra rằng miền nhị phân không cần phải đưa vào việc mang trong các phép toán cộng và nhân, và phép bình phương trong miền nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản hóa (X + Y )2 = X2 + Y2.
Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: Chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử duy nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, mười sáu phần tử miền tháp 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Tính linh hoạt trong cách biểu diễn này không yêu cầu bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là một kiểu chuyển đổi loại chuỗi bit (typecast), đây là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được đóng gói thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần thêm chi phí tính toán. Giao thức Binius đã tận dụng đặc tính này để nâng cao hiệu quả tính toán. Ngoài ra, bài báo "Về việc Đảo ngược Hiệu quả trong Các miền Tháp của Đặc trưng Hai" đã khám phá độ phức tạp tính toán của phép nhân, phép bình phương và phép đảo ngược trong miền nhị phân tháp n bit ( có thể phân rã thành miền con m bit ).
2.2 PIOP: Phiên bản cải biên của sản phẩm HyperPlonk và PermutationCheck------ Áp dụng cho miền nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, sử dụng một loạt các cơ chế kiểm tra cốt lõi, nhằm xác minh tính chính xác của đa thức và tập hợp nhiều biến. Những kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: Xác minh chứng chỉ bí mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ toán tử của mạch C(x,ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động chính xác.
PermutationCheck: Xác minh kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên khối siêu Boolean có phải là quan hệ hoán vị hay không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.
LookupCheck: Kiểm tra xem giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong phạm vi chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra xem giá trị của đa thức hữu tỷ trên khối siêu Boolean có bằng với một giá trị đã được tuyên bố ∏x∈Hµ f(x) = s hay không, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác minh xem một đa biến đa thức tại bất kỳ điểm nào trên hypercube Boolean có phải là không hay không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố của các điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có bằng giá trị đã khai báo hay không ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức đơn biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Hơn nữa, SumCheck còn cho phép xử lý theo lô, thông qua việc giới thiệu số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý theo lô cho nhiều trường hợp kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của việc đánh giá nhiều đa thức nhiều biến để nâng cao hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã có những cải tiến trong 3 lĩnh vực sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U không được bằng 0 trên siêu lập phương và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quá trình kiểm tra này bằng cách đặc biệt hóa giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho không: HyperPlonk không xử lý đầy đủ trường hợp chia cho không, dẫn đến không thể khẳng định U không bằng không trên siêu khối; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả khi mẫu số bằng không, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này cho phép Binius xử lý các trường hợp sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải tiến cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt trong việc xử lý xác minh đa biến đa thức phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết các hạn chế trong HyperPlonk, mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên trường nhị phân trong tương lai.
2.3 PIOP: lập luận dịch đa tuyến mới------thích hợp cho hypercube boolean
Trong giao thức Binius, việc xây dựng và xử lý đa thức ảo là một trong những công nghệ then chốt, có thể tạo ra và thao tác hiệu quả với các đa thức được phát sinh từ tay cầm đầu vào hoặc các đa thức ảo khác. Dưới đây là hai phương pháp quan trọng:
Packing: Phương pháp này thông qua việc đóng gói các phần tử nhỏ hơn ở vị trí liền kề trong thứ tự từ điển thành các phần tử lớn hơn.
Xem bản gốc
Trang này có thể chứa nội dung của bên thứ ba, được cung cấp chỉ nhằm mục đích thông tin (không phải là tuyên bố/bảo đảm) và không được coi là sự chứng thực cho quan điểm của Gate hoặc là lời khuyên về tài chính hoặc chuyên môn. Xem Tuyên bố từ chối trách nhiệm để biết chi tiết.
Phân tích nguyên lý tối ưu hóa miền nhị phân của Binius STARKs: Nâng cao hiệu suất mã hóa và hiệu suất tính toán
Phân tích nguyên lý Binius STARKs và suy nghĩ về tối ưu hóa
1. Giới thiệu
Một lý do chính khiến STARKs kém hiệu quả là: hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều nhỏ, nhưng để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, việc sử dụng mã Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu sẽ tạo ra nhiều giá trị dư thừa bổ sung chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền đã trở thành chiến lược then chốt.
Độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ đầu tiên là 252bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ hai là 64bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ ba là 32bit, nhưng độ rộng mã hóa 32bit vẫn còn nhiều không gian lãng phí. So với đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên các bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ thứ tư.
So với Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 và các nghiên cứu gần đây về trường hữu hạn, nghiên cứu về trường nhị phân có thể được truy nguyên từ những năm 1980. Hiện nay, trường nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã học, ví dụ điển hình bao gồm:
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, thao tác mở rộng miền trở nên ngày càng quan trọng để đảm bảo an toàn. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo an toàn và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong tính toán của Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền gốc, do đó đạt được hiệu quả cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo an toàn cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã.
Binius đã đề xuất một giải pháp đổi mới, xử lý hai vấn đề này một cách riêng biệt và đạt được điều đó bằng cách biểu diễn cùng một dữ liệu theo hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa biến ( cụ thể là đa thức đa tuyến tính ) thay thế cho đa thức đơn biến, thông qua giá trị của nó trên "siêu khối" ( hypercubes ) để biểu diễn toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, do chiều dài mỗi chiều của siêu khối đều là 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon tiêu chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi siêu khối là hình vuông ( square ), dựa trên hình vuông đó để thực hiện mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này đảm bảo an toàn trong khi nâng cao đáng kể hiệu quả mã hóa và hiệu suất tính toán.
2. Phân tích nguyên lý
Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:
Chứng minh Oracle tương tác đa thức lý thuyết thông tin (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP như là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi các mối quan hệ tính toán đầu vào thành các đẳng thức đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh gửi từng bước đa thức thông qua sự tương tác với người xác minh, giúp người xác minh xác minh tính đúng đắn của phép tính chỉ bằng cách truy vấn một lượng nhỏ kết quả đánh giá đa thức. Các giao thức PIOP hiện tại bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi loại đều có cách xử lý các biểu thức đa thức khác nhau, do đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.
Phương án cam kết đa thức ( Polynomial Commitment Scheme, PCS ): Phương án cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh xem các phương trình đa thức do PIOP tạo ra có đúng không. PCS là một công cụ mật mã, qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn đi các thông tin khác của đa thức. Các phương án cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI ( Fast Reed-Solomon IOPP ) và Brakedown, v.v. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và bối cảnh áp dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn các PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elip phù hợp, có thể xây dựng các hệ thống chứng minh với các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
Halo2: Kết hợp PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế chú trọng vào khả năng mở rộng và loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.
Plonky2: Sử dụng PLONK PIOP kết hợp với FRI PCS và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được sự đệ quy hiệu quả. Khi thiết kế những hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải tương thích với miền hữu hạn hoặc đường cong elip được sử dụng, để đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và an toàn của hệ thống. Sự lựa chọn của những tổ hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh và hiệu quả xác minh của SNARK, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, và liệu nó có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh đệ quy hoặc chứng minh tổng hợp hay không.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ chính để đạt được hiệu quả và an toàn. Đầu tiên, dựa trên miền nhị phân dạng tháp (towers of binary fields), các thành phần toán học đã tạo thành nền tảng cho tính toán của nó, cho phép thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius đã điều chỉnh các kiểm tra tích và hoán vị của HyperPlonk trong giao thức chứng minh Oracle tương tác (PIOP), đảm bảo tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng minh dịch chuyển bậc đa thức mới, tối ưu hóa hiệu suất xác minh các mối quan hệ bậc đa thức trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius sử dụng một phiên bản cải tiến của chứng minh tìm kiếm Lasso, cung cấp tính linh hoạt và khả năng bảo mật mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng kế hoạch cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.
2.1 Tập hợp hữu hạn: Phép toán dựa trên tháp của các trường nhị phân
Trường nhị phân dạng tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán có thể xác minh nhanh chóng, chủ yếu do hai yếu tố: tính toán hiệu quả và tính toán hợp lý. Trường nhị phân về cơ bản hỗ trợ các phép toán số học hiệu quả cao, làm cho nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc trường nhị phân hỗ trợ quy trình số học đơn giản hóa, tức là các phép toán thực hiện trên trường nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số ngắn gọn và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cùng với khả năng tận dụng triệt để tính chất phân cấp của cấu trúc tháp, làm cho trường nhị phân đặc biệt phù hợp cho các hệ thống chứng minh có thể mở rộng như Binius.
Trong đó "canonical" chỉ cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong miền nhị phân. Ví dụ, trong miền nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp tới một phần tử miền nhị phân k bit. Điều này khác với miền số nguyên tố, miền số nguyên tố không thể cung cấp cách biểu diễn chuẩn như vậy trong một số bit nhất định. Mặc dù miền số nguyên tố 32 bit có thể chứa trong 32 bit, nhưng không phải chuỗi 32 bit nào cũng có thể tương ứng duy nhất với một phần tử miền, trong khi miền nhị phân lại có sự tiện lợi của ánh xạ một-một này. Trong miền số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm phổ biến bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery, và các phương pháp giảm đặc biệt cho các miền hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong miền nhị phân F2k, các phương pháp giảm thường dùng bao gồm giảm đặc biệt ( như sử dụng trong AES ), giảm Montgomery ( như sử dụng trong POLYVAL ) và giảm đệ quy ( như Tower ). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của ECC-Hardware Implementations Miền Số Nguyên Tố So Với Miền Nhị Phân" chỉ ra rằng miền nhị phân không cần phải đưa vào việc mang trong các phép toán cộng và nhân, và phép bình phương trong miền nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản hóa (X + Y )2 = X2 + Y2.
Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: Chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử duy nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, mười sáu phần tử miền tháp 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Tính linh hoạt trong cách biểu diễn này không yêu cầu bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là một kiểu chuyển đổi loại chuỗi bit (typecast), đây là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được đóng gói thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần thêm chi phí tính toán. Giao thức Binius đã tận dụng đặc tính này để nâng cao hiệu quả tính toán. Ngoài ra, bài báo "Về việc Đảo ngược Hiệu quả trong Các miền Tháp của Đặc trưng Hai" đã khám phá độ phức tạp tính toán của phép nhân, phép bình phương và phép đảo ngược trong miền nhị phân tháp n bit ( có thể phân rã thành miền con m bit ).
2.2 PIOP: Phiên bản cải biên của sản phẩm HyperPlonk và PermutationCheck------ Áp dụng cho miền nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, sử dụng một loạt các cơ chế kiểm tra cốt lõi, nhằm xác minh tính chính xác của đa thức và tập hợp nhiều biến. Những kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: Xác minh chứng chỉ bí mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ toán tử của mạch C(x,ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động chính xác.
PermutationCheck: Xác minh kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên khối siêu Boolean có phải là quan hệ hoán vị hay không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.
LookupCheck: Kiểm tra xem giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong phạm vi chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra xem giá trị của đa thức hữu tỷ trên khối siêu Boolean có bằng với một giá trị đã được tuyên bố ∏x∈Hµ f(x) = s hay không, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác minh xem một đa biến đa thức tại bất kỳ điểm nào trên hypercube Boolean có phải là không hay không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố của các điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có bằng giá trị đã khai báo hay không ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức đơn biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Hơn nữa, SumCheck còn cho phép xử lý theo lô, thông qua việc giới thiệu số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý theo lô cho nhiều trường hợp kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của việc đánh giá nhiều đa thức nhiều biến để nâng cao hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã có những cải tiến trong 3 lĩnh vực sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U không được bằng 0 trên siêu lập phương và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quá trình kiểm tra này bằng cách đặc biệt hóa giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho không: HyperPlonk không xử lý đầy đủ trường hợp chia cho không, dẫn đến không thể khẳng định U không bằng không trên siêu khối; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả khi mẫu số bằng không, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này cho phép Binius xử lý các trường hợp sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải tiến cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt trong việc xử lý xác minh đa biến đa thức phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết các hạn chế trong HyperPlonk, mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên trường nhị phân trong tương lai.
2.3 PIOP: lập luận dịch đa tuyến mới------thích hợp cho hypercube boolean
Trong giao thức Binius, việc xây dựng và xử lý đa thức ảo là một trong những công nghệ then chốt, có thể tạo ra và thao tác hiệu quả với các đa thức được phát sinh từ tay cầm đầu vào hoặc các đa thức ảo khác. Dưới đây là hai phương pháp quan trọng: